Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点P（${\frac{3}{4}$，m）到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F．
（1）求抛物线的方程；
（2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E．试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点坐标和准线方程，运用抛物线的定义可得点$P（{\frac{3}{4}，m}）$在线段OF的中垂线上，可得p=3，进而得到抛物线的方程；
（2）四边形AEBF为菱形．由抛物线的对称性，设点$A（{\frac{1}{6}y_0^2，{y_0}}）$在x轴的上方，求出抛物线的切线的斜率和切线的方程，令y=0，求得B的坐标，E，F的坐标，由向量相等即可得到四边形的形状．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意点$P（{\frac{3}{4}，m}）$到准线的距离为|PO|，
由抛物线的定义，可得点P到准线的距离为|PF|，
即有|PO|=|PF|，即点$P（{\frac{3}{4}，m}）$在线段OF的中垂线上，
则$\frac{p}{4}$=$\frac{3}{4}$，解得p=3，则抛物线的方程为y²=6x；
（2）四边形AEBF为菱形．
证明：抛物线y²=6x的焦点为F（$\frac{3}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{3}{2}$，
由抛物线的对称性，设点$A（{\frac{1}{6}y_0^2，{y_0}}）$在x轴的上方，
由y²=6x，两边对x求导可得，2yy′=6，即y′=$\frac{3}{y}$，
可得点A处的切线的斜率为$\frac{3}{y_0}$，
则点A处切线的方程为$y-{y_0}=\frac{3}{y_0}（{x-\frac{1}{6}y_0^2}）$，
令上式中y=0，得$x=-\frac{1}{6}y_0^2$，
可得点B的坐标为$（{-\frac{1}{6}y_0^2，0}）$，又$E（{-\frac{3}{2}，{y_0}}），F（{\frac{3}{2}，0}）$，
所以$\overrightarrow{FA}=（{\frac{1}{6}y_0^2-\frac{3}{2}，{y_0}}），\overrightarrow{BE}=（{\frac{1}{6}y_0^2-\frac{3}{2}，{y_0}}）$，
所以$\overrightarrow{FA}=\overrightarrow{BE}$，所以FA∥BE，又AE∥FB，
故四边形AEBF为平行四边形，
再由抛物线的定义，得AF=AE，
所以四边形AEBF为菱形．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法解题，考查直线与抛物线的位置关系：相切，同时考查直线方程的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．