Question

12．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，BD⊥CF，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．
（Ⅰ）求证：平面ADEF垂直于平面ABCD；
（Ⅱ）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ∥平面ABCD；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，推导出BD⊥AC，从而FA⊥平面ADEF，由此能证明平面ADEF垂直于平面ABCD．
（Ⅱ）作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，推导出四边形PSTQ是平行四边形，从而PQ∥ST，由此能证明PQ∥平面ABCD．
（Ⅲ）多面体ABCDEF的体积V_{多面体ABCDEF}=V_F-ABCD+V_C-DEF，由此能求出结果．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AF⊥AD，平面ABCD∩平面ADEF=AD，
∴FA⊥平面ADEF，
∴平面ADEF垂直于平面ABCD．
（Ⅱ）作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，
在△ABF中，PS：AF=BP：BF=1：2，PS=$\frac{1}{2}$AF，
在直角梯形ADEF中，QT=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$AF，
∴PS$\underset{∥}{=}$QT，
∴四边形PSTQ是平行四边形，∴PQ∥ST，
∵ST?平面ABCD，∴PQ∥平面ABCD．
解：（Ⅲ）多面体ABCDEF的体积：
V_{多面体ABCDEF}=V_F-ABCD+V_C-DEF
=$\frac{1}{3}×（2a）^{2}×a+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{a}^{2}×2a$=$\frac{5}{3}{a}^{3}$．

点评 本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．