Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b}$=1和直线l：y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是[1，4）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 由已知直线过定点（0，1），可得（0，1）在椭圆内部或在椭圆上，然后分类讨论得答案．

解答 解：∵直线l：y=mx+1恒过定点（0，1），
∴要使直线l与椭圆C恒有公共点，
则（0，1）在椭圆内部或在椭圆上，
若椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b}$=1是焦点在x轴上的椭圆，则1≤b＜4；
若椭圆C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{b}$=1是焦点在y轴上的椭圆，则b＞4．
∴实数b的取值范围是：[1，4）∪（4，+∞）．
故答案为：[1，4）∪（4，+∞）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查直线系方程的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．