Question

在三角形 A BC中，A，B，C是三角形 A BC的内角，设函数f（A）=2sin

B+C

2

sin（π-

A

2

）+sin²（π+

A

2

）-cos²

A

2

，则f（ A）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：首先把三角函数关系式进行恒等变换，变换成正弦型函数，进一步利用三角形的内角的范围求出三角函数的最值．

解答： 解：函数f（A）=2sin

B+C

2

sin（π-

A

2

）+sin²（π+

A

2

）-cos²

A

2

=2sin

π-A

2

sin(π-

A

2

)+sin2

A

2

-cos2

A

2

=2sin

A

2

cos

A

2

-(cos2

A

2

-sin2

A

2

)
=sinA-cosA
=

2

sin(A-

π

4

)
由于：A是三角形的内角，
所以：0＜A＜π
-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

故当A-

π

4

=

π

2

时，即A=

3π

4

时，函数f（A）的最大值为

2

．
故答案为：

2

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系时的恒等变形，利用三角形的内角求函数的最值问题，属于基础题型．