Question

13．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线AD₁与BD所成的角为60⁰；若AB的中点为M，DD₁的中点为N，则异面直线B₁M与CN所成的角为90⁰．

Answer 1

分析 题目要求解的是两条异面直线所成角的，通过寻找平行线，BC₁∥AD₁，异面直线AD₁与BD所成的角为∠DBC₁，△DBC₁是等边三角形，可得∠DBC₁的大小．给出了AB的中点为M，DD₁的中点为N，过M点作CN平形线交AA₁于F，连接MF，得到异面直线B₁M与CN所成的角为∠FMB₁，求出三条边的长度，满足勾股定理，即可求∠FMB₁的大小．

解答 解：由题意：ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，BC₁∥AD₁，
异面直线AD₁与BD所成的角为∠DBC₁，连接C₁D，
可得：DB，C₁D，BC₁是正方形的对角线，
∴DB=C₁D=BC₁
所以△DBC₁是等边三角形，
异面直线AD₁与BD所成的角为∠DBC₁=60°．
AB的中点为M，DD₁的中点为N，
过M点作CN平形线交AA₁于F，连接MF，
异面直线B₁M与CN所成的角为∠FMB₁，
设正方体的边长为a，则CN=MB₁=$\frac{\sqrt{5}}{2}a$，
MF=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{\sqrt{5}}{4}a$，B₁F=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{A}_{1}{F}^{2}}=\sqrt{{a}^{2}+\frac{9}{16}{a}^{2}}=\frac{5}{4}a$．
∵$M{F}^{2}+M{{B}_{1}}^{2}=F{{B}_{1}}^{2}$．
∴FM⊥MB₁
即异面直线B₁M与CN所成的角为90°．
故答案为：60°，90°．

点评 本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力．在立体几何中找平行线是解决问题的一个重要技巧，这个技巧就是通过三角形的中位线找平行线，如果试题的已知中涉及到多个中点，则找中点是出现平行线的关键技巧，此题是中低档题．