Question

4．证明：对一切正整数n，5ⁿ+2•3^n-1+1能被8整除．

Answer 1

分析 根据题意，运用数学归纳法进行证明：（1）证明n=1时结论成立，（2）假设当n=k，（k≥2，k∈N^*），结论成立，即5^k+2•3^k-1+1能被8整除，进而证明当n=k+1时，5^k+1+2•3^k+1可以被8整除，综合即可得证明．

解答 证明：（1）当n=1时，5ⁿ+2•3^n-1+1=8，显然能被8整除，
即n=1时，结论成立（2分）
（2）假设当n=k，（k≥2，k∈N^*），结论成立，（3分）
则5^k+2•3^k-1+1能被8整除，设5^k+2•3^k-1+1=8m，m∈N^*，
当n=k+1时，5^k+1+2•3^k+1=5（5^k+2•3^k-1+1）-4•3^k-1-4
=5（5^k+2•3^k-1+1）-4•（3^k-1+1）（7分）
而当k≥2，k∈N^*时3^k-1+1显然为偶数，设为2t，t∈N^*，
故=5（5^k+2•3^k-1+1）-4•（3^k-1+1）=40m-8t（m，t∈N^*），
也能被8整除，故当n=k+1时结论也成立；
由（1）（2）可知对一切正整除n，5ⁿ+2•3^n-1+1能被8整除．（10分）

点评 本题考查数学归纳法的运用，关键是掌握运用数学归纳法证明数学问题的步骤．