Question

在△ABC中，满足：，M是BC的中点．
（I）若，求向量．与向量的夹角的余弦值；
（II）若O是线段AM上任意一点，且，求的最小值；
（3）若点P是∠BAC内一点，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的数量积公式得到，利用向量的数量积公式展开，求出向量．与向量的夹角的余弦值；
（II）通过解三角形求出AM的长，设，则，利用向量的平行四边形法则得到而
，利用向量的数量积公式将表示成关于x的二次函数，通过求二次函数的最值求出最小值．
（III）设∠CAP=α，将已知条件利用向量的数量积公式表示成关于α的三角函数，将平方转化为关于α的三角函数，然后利用基本不等式求出其最小值．
解答：解：（I）设向量．与向量的夹角为θ
∴，
令=a
∴
（II）∵=，
∴
设，则，
而
∴
=-2x（1-x）=2x²-2x=
当且仅当时，的最小值是
（III）设∠CAP=α
∵
∴
∴
当且仅当
点评：解决向量的夹角问题，一般利用的是向量的数量积公式．是一道综合题．