Question

2．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$的最大值是（　　）

• A． 1-$\sqrt{3}$
• B． -1
• C． 1
• D． 1+$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题意，不妨设设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosα，sinα），利用平面向量的数量积与三角函数的性质，即可求出最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$为单位向量，且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴设$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（1+cosα，1+sinα），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）•$\overrightarrow{c}$=cosα（1+cosα）+sinα（1+sinα）
=cosα+sinα+cos²α+sin²α
=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1≤$\sqrt{2}$+1，
∴当sin（α+$\frac{π}{4}$）=1时取得最大值$\sqrt{2}$+1．
故选：D．

点评 本题考查了向量的数量积的定义与应用问题，也考查了求数量积最大的问题，是基础题目．