Question

18．在△ABC中，∠A=$\frac{2π}{3}$，AB=4，△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，则△ABC的外接圆的半径为$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得：$\frac{1}{2}×4×bsin\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$，解得b．再利用余弦定理可得a，再利用正弦定理即可得出．

解答 解：由已知可得：$\frac{1}{2}×4×bsin\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$，解得b=2．
∴a²=2²+4²-2×2×4×$cos\frac{2π}{3}$=28．
∴a=2$\sqrt{7}$．
设△ABC的外接圆的半径为R，
则2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{7}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$，解得R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．