Question

7．在底面是边长为6的正方形的四棱锥P-ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为$\frac{5}{3}$，则四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比为$\frac{6}{17}$．

Answer 1

分析 确定异面直线PB与AD所成角为∠PBC，取BC中点E，则tan∠PBC=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{5}{3}$，求出PE=5，HP=4，可得四棱锥P-ABCD的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比．

解答 解：由题意，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，PA=PB=PC=PD，
∵AD∥BC，
∴异面直线PB与AD所成角为∠PBC，
取BC中点E，则tan∠PBC=$\frac{PE}{BE}$=$\frac{5}{3}$，
∴PE=5，HP=4，
从而四棱锥P-ABCD的表面积为S=$\frac{1}{2}×6×5×4+6×6$=96，V=$\frac{1}{3}×6×6×4$=48，
∴内切球的半径为r=$\frac{3V}{S}$=$\frac{3}{2}$．
设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O，外接球的半径为R，则OP=OA，
∴（4-R）²+（3$\sqrt{2}$）²=R²，
∴R=$\frac{17}{4}$，
∴$\frac{r}{R}$=$\frac{6}{17}$．
故答案为：$\frac{6}{17}$．

点评 本题考查四棱锥P-ABCD的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥P-ABCD的表面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．