Question

20．已知在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a（cosφ+sinφ）}\\{y=a（sinφ-cosφ）}\end{array}\right.$，（φ为参数，a＞0），在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=1
（1）求曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）曲线C₁上恰好存在四个不同的点到曲线C₂的距离相等，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a（cosφ+sinφ）}\\{y=a（sinφ-cosφ）}\end{array}\right.$，（φ为参数，a＞0），平方相加可得可得x²+y²=a²=a²．曲线C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=1，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ$=1，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入即可化为直角坐标方程．
（2）圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{2}{2}$=1．根据曲线C₁上恰好存在四个不同的点到曲线C₂的距离相等，可得直线两侧各有两个点到直线的距离为1，因此$\sqrt{2}a$-1＞1，解出即可得出．

解答 解：（1）由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a（cosφ+sinφ）}\\{y=a（sinφ-cosφ）}\end{array}\right.$，（φ为参数，a＞0），
可得x²+y²=a²（1+sin2φ）+a²（1-sin2φ）=a²．
曲线C₂：ρsin（θ+$\frac{π}{6}$）=1，展开可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ+\frac{1}{2}ρcosθ$=1，
化为直角坐标方程：$\sqrt{3}$y+x=2．
（2）圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{2}{2}$=1．
∵曲线C₁上恰好存在四个不同的点到曲线C₂的距离相等，
∴直线两侧各有两个点到直线的距离为1，
∴$\sqrt{2}a$-1＞1，解得$a＞\sqrt{2}$．
故a的取值范围是$（\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数化简求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．