Question

2．已知函数f（x）=ax²+bx，a，b∈R．
（1）若f（1）=2且f（x）＞0的解集为（m，m+2）（m为实数），求f（x）解析式；
（2）若1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（1）=2且f（x）＞0的解集为（m，m+2），可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-\frac{b}{a}-0=2}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求f（x）解析式；
（2）要求f（-2）的取值范围，解题的思路为：由f（x）关系式推出f（-2）与f（1）和f（-1）的关系，再利用f（1）和f（-1）的范围，即可得f（-2）的范围．

解答 解：（1）∵f（1）=2且f（x）＞0的解集为（m，m+2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{-\frac{b}{a}-0=2}\end{array}\right.$，∴a=-2．b=4，
∴f（x）=-2x²+4x；
（2）设f（-2）=mf（-1）+nf（1）（m、n为待定系数），
则4a-2b=m（a-b）+n（a+b）．
即4a-2b=（m+n）a+（n-m）b．
于是得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{n-m=-2}\end{array}\right.$，解得m=3，n=1，
∴f（-2）=3f（-1）+f（1）．
又∵1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，
∴5≤3f（-1）+f（1）≤10，
故5≤f（-2）≤10．

点评 本题考查函数解析式的求解，考查范围的确定，对于（2）由a＜f₁（x₁，y₁）＜b，c＜f₂（x₁，y₁）＜d，求g（x₁，y₁）的取值范围，可利用待定系数法解决，即设g（x₁，y₁）=pf₁（x₁，y₁）+qf₂（x₁，y₁），用恒等变形求得p，q，再利用不等式的性质求得g（x₁，y₁）取值范围．