Question

已知sinα-cosα=

1

5

，0≤α≤π，则sin（

π

2

+2α）=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：把所给的条件两边平方，写出正弦和余弦的积，判断出角在第一象限，求出两角和的结果，解方程组求出正弦和余弦值，进而用二倍角公式得到结果．

解答： 解：∵sinα-cosα=

1

5

，①0≤x≤π
∴1-2sinαcosα=

1

25

，
∴2sinαcosα=

24

25

，
∴α∈（0，

π

2

）
∴1+2sinαcosα=

49

25

，
∴sinα+cosα=

7

5

，②
由①②得sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴sin（

π

2

+2α）=cos2α=2cos²α-1=2×

9

25

-1=-

7

25

，
故答案为：-

7

25

．

点评：本题考查三角函数同角的三角函数关系，二倍角公式的应用，解题的关键是分析角的范围，关键正弦值和余弦值的积，判断范围．