Question

6．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其焦距为2c，点Q（c，$\frac{a}{2}$）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF₁|+|PQ|＜5|F₁F₂|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （$\frac{2}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

Answer 1

分析 点Q（c，$\frac{a}{2}$）在椭圆的内部，$\frac{{b}^{2}}{a}＞\frac{a}{2}$，|PF₁|+|PQ|=2a-|PF₂|+|PQ|，由-|QF₂|+|PQ|≤|PQ|-|PF₂|≤|QF₂|，且|QF₂|=$\frac{a}{2}$，要|PF₁|+|PQ|＜5|F₁F₂|恒成立，即2a-|PF₂|+|PQ|≤2a+$\frac{a}{2}$＜5×2c．

解答 解：∵点Q（c，$\frac{a}{2}$）在椭圆的内部，∴$\frac{{b}^{2}}{a}＞\frac{a}{2}$，⇒2b²＞a²⇒a²＞2c²．
$\frac{c}{a}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$
|PF₁|+|PQ|=2a-|PF₂|+|PQ|
又因为-|QF₂|+|PQ|≤|PQ|-|PF₂|≤|QF₂|，且|QF₂|=$\frac{a}{2}$，
要|PF₁|+|PQ|＜5|F₁F₂|恒成立，即2a-|PF₂|+|PQ|≤2a+$\frac{a}{2}$＜5×2c
$\frac{5a}{2}＜10c$，$\frac{c}{a}＞\frac{1}{4}$，则椭圆离心率的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故选：B

点评 本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．