Question

如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=PD=a，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

(2)求证：平面MND⊥平面PCD；

(3)当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD 故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角 在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°； (2)取PD中点E，连AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点， ∴ ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE 在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线 ∴AE⊥PD 又CD⊥AD，CD⊥PD，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD； (3)∵AD∥BC 所以∠PCB为异面直线PC，AD所成的角 由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0) ∴ ，∴tan∠PCB∈(1，＋∞)， 又∠PCB为锐角，∴ 即异面直线PC，AD所成的角的范围为．