Question

4．在△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，BC=2，点D、E分别在边AB、AC上，AD=DC，DE⊥AC，且DE≥$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，则∠ACB的最大值为75°．

Answer 1

分析 先求出CD，在△BCD中，由正弦定理可得$\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{CD}{sin∠B}$，结合∠BDC=2∠A，即可得求出∠A的最小值，从而得出∠ACD的最大值．

解答 解：如图所示，
△ABC中，B=$\frac{π}{3}$，BC=2，AD=DC，DE⊥AC，
∴∠DCE=∠A，
∠BDC=2∠A，
∴DC=AD=$\frac{DE}{sin∠A}$；
又$\frac{DC}{sin∠B}$=$\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{DE}{sin∠A•sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2}{sin2∠A}$，
∴cos∠A=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{DE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2DE}$，
又DE≥$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴cos∠A≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠A≥$\frac{π}{4}$；
∴∠ACB=π-∠B-∠A≤π-$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$，
即∠ACB的最大值为$\frac{5π}{12}$．
故答案为：$\frac{5π}{12}$．

点评 本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数最值的应用问题，是综合性题目．