Question

13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边；
（1）、证明余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA；
（2）、在ABC中2a²-bc=2（bccosA+cacosB+abcosC），求A．

Answer 1

分析 （1）（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），可得$\overrightarrow{BC}$=（c-bcosA，bsinA）．再利用数量积运算性质即可证明．
（2）利用余弦定理代入化简可得b²+c²-a²=-bc，再利用余弦定理即可得出．

解答 （1）证明：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0）
∴$\overrightarrow{BC}$=（c-bcosA，bsinA）．
∴a²=（c-bcosA）²+（bsinA）²=b²+c²-2bccosA．
（2）解：∵2a²-bc=2（bccosA+cacosB+abcosC），
∴2a²-bc=b²+c²-a²+c²+a²-b²+a²+b²-c²，
∴b²+c²-a²=-bc=2bccosA，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了余弦定理的证明及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．