Question

2．已知命题p：?x∈[0，1]，使${（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}-m≥0$恒成立，命题$q：?x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，使函数$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零点，若命题“p∧q”是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：当x∈[0，1]时，$1≤{（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}≤2$，要使${（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}-m≥0$恒成立，需满足m≤$[（\frac{1}{2}）^{x-1}]_{min}$．命题q：$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m=2sin（{x+\frac{π}{6}}）-m$，当$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，$0≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，$0≤2sin（{x+\frac{π}{6}}）≤2$，要使$?x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，函数$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零点，即可得出m的取值范围．因为命题“p∧q”为真命题，所以p真，q真，进而得出．

解答 解：命题p：当x∈[0，1]时，$1≤{（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}≤2$，要使${（{\frac{1}{2}}）^{x-1}}-m≥0$恒成立，需满足m≤1；
命题q：$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m=2sin（{x+\frac{π}{6}}）-m$，当$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$时，$0≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}$，$0≤2sin（{x+\frac{π}{6}}）≤2$，要使$?x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，函数$f（x）=\sqrt{3}sinx+cosx-m$有零点，需满足0≤m≤2，
因为命题“p∧q”为真命题，所以p真，q真，
所以0≤m≤1．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．