Question

5．已知双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两焦点为F₁，F₂，A是该双曲线上一点，满足：2|AF₁|-2|AF₂|=|F₁F₂|，直线AF₂交双曲线C于另一点 B，且5$\overrightarrow{{A}{F_2}}$=3$\overrightarrow{{A}{B}}$，则直线 AF₂的斜率为（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{11}}}{33}$
• B． $±\sqrt{3}$
• C． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $±3\sqrt{11}$

Answer 1

分析 根据2|AF₁|-2|AF₂|=|F₁F₂|，得到c=2a，b=$\sqrt{3}$a，设出A，B的坐标，利用向量关系，联立方程组求出A的坐标，即可得到结论．

解答 解：∵A是该双曲线上一点，满足：2|AF₁|-2|AF₂|=|F₁F₂|，
∴2（|AF₁|-|AF₂|）=|F₁F₂|，
即4a=2c，则c=2a，b=$\sqrt{3}$a
则双曲线的方程等价为$\frac{y^2}{a^2}$-$\frac{{x}^{2}}{3{a}^{2}}$=1，
即3y²-x²=3a²，
设A（x，y），B（m，n），F₂（0，c），
∵5$\overrightarrow{{A}{F_2}}$=3$\overrightarrow{{A}{B}}$，
∴5（-x，c-y）=3（m-x，n-y），
即$\left\{\begin{array}{l}{-5x=3m-3x}\\{5c-5y=3n-3y}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2x}{3}}\\{n=\frac{5c-2y}{3}}\end{array}\right.$，即B（-$\frac{2x}{3}$，$\frac{5c-2y}{3}$），
代入3y²-x²=3a²，
得（$\frac{5c-2y}{3}$）²-（-$\frac{2x}{3}$）²=3a²，
∵3y²-x²=3a²，
∴消去x得y=$\frac{19a}{8}$，代入3y²-x²=3a²，
得3（$\frac{19a}{8}$）²-x²=3a²，
得x=±$\frac{9\sqrt{11}a}{8}$，即A（±$\frac{9\sqrt{11}a}{8}$，$\frac{19a}{8}$），
则AF₂的斜率k=$\frac{\frac{19a}{8}-c}{±\frac{9\sqrt{11}a}{8}}$=$\frac{\frac{19a}{8}-2a}{±\frac{9\sqrt{11}a}{8}}$=±$\frac{3}{9\sqrt{11}}$=$±\frac{{\sqrt{11}}}{33}$，
故选：A

点评 本题主要考查直线斜率的计算，根据双曲线的性质和定义，建立方程组求出的坐标是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．