Question

1．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[-1，1]时，f（x）=|x|-1，又g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≤1}\\{\frac{lnx}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，若函数F（x）=g（x）-kx在区间[-7，+∞）上恰有7个零点，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2e}$）
• C． （$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2e}$）
• D． （$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 由题意画出图形，求出过原点的直线与y=$\frac{lnx}{x}$相切的直线的斜率，数形结合得答案．

解答 解：由f（x+2）=f（x），可知函数f（x）是周期为2的周期函数；
对于函数y=$\frac{lnx}{x}$，y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，当x∈（1，e）时，y′＞0，当x∈（e，+∞）时，y′＜0，
∴y=$\frac{lnx}{x}$在（1，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，$f（x）_{max}=\frac{1}{e}$．
作出函数y=g（x）与y=kx的图象如图：

设直线y=kx与y=$\frac{lnx}{x}$的切点为（${x}_{0}，\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$），函数y=$\frac{lnx}{x}$在x=x₀处的导函数为$\frac{1-ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴切线方程为y-$\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{1-ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），把（0，0）代入，得${x}_{0}=\sqrt{e}$．
∴切点为（$\sqrt{e}，\frac{1}{2\sqrt{e}}$），则切线斜率为$\frac{1}{2}$，
又当k=$\frac{1}{6}$时y=kx与g（x）在y轴左侧有6个交点，∴k$＞\frac{1}{6}$．
∴实数k的取值范围是（$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{2e}$）．
故选：B．

点评 本题考查函数零点的判定定理，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．