Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），x∈R设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，求出函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），从而得到f（x）的最小正周期；
（2）由x的范围求得相应的范围，再由正弦曲线y=sinx在[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象进一步求得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），x∈R，
得f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}cosxsinx+si{n}^{2}x-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
由正弦曲线y=sinx在[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的图象可知
当$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{3}$时f（x）取最大值1．
当$2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{6}$即x=0时f（x）取最小值$-\frac{1}{2}$．
函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值分别为1，$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量数量积公式、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．