Question

3．为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为$\frac{3}{5}$，丙胜甲的概率为$\frac{3}{4}$，乙胜丙的概率为p，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第三名的概率为$\frac{1}{10}$．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为$\frac{1}{10}$．即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为$\frac{1}{10}$，利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（Ⅱ）依题意丙得分X可以为0，3，6，丙胜甲的概率为$\frac{3}{4}$，丙胜乙的概率为$\frac{2}{3}$，利用相互独立事件、互斥事件的概率计算公式即可得出概率、分布列与数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为$\frac{1}{10}$．
即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为$\frac{1}{10}$，…（2分）
∴$\frac{3}{5}×\frac{1}{4}×（1-p）=\frac{1}{10}$，∴$p=\frac{1}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）依题意丙得分X可以为0，3，6，丙胜甲的概率为$\frac{3}{4}$，丙胜乙的概率为$\frac{2}{3}$…（7分）
$P（X=0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$，$P（X=3）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}=\frac{5}{12}$，$P（X=6）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}=\frac{6}{12}$…（10分）

X	0	3	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{6}{12}$

∴$E（X）=0×\frac{1}{12}+3×\frac{5}{12}+6×\frac{6}{12}=\frac{17}{4}$．…（12分）

点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．