Question

3．对任意m∈R，直线mx-y+1=0与圆x²+y²=r²（r＞0）交于不同的两点A、B，且存在m使|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≥|$\overrightarrow{AB}$|（O是坐标原点）成立，那么r的取值范围是（　　）

• A． 0＜r≤$\sqrt{2}$
• B． 1＜r＜$\sqrt{2}$
• C． 1＜r≤$\sqrt{2}$
• D． r＞$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 将直线方程代入圆的方程得：（m²+1）x²+2mx+1-r²=0，根据韦达定理有则x₁+x₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{1-{r}^{2}}{{m}^{2}+1}$；可根据题意转化为：（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1≥0，即r²≤$\frac{2}{{m}^{2}+1}$有解．

解答 解：将直线方程代入圆的方程得：（m²+1）x²+2mx+1-r²=0，
△=4m²-4（m²+1）（1-r²）＞0得r²＞$\frac{1}{{m}^{2}+1}$恒成立，即r＞1．
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{1-{r}^{2}}{{m}^{2}+1}$，
|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≥|$\overrightarrow{AB}$|即|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|≥|$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$|，平方得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≥0，即x₁x₂+y₁y₂≥0，
即x₁x₂+（mx₁+1）（mx₂+1）≥0，即（1+m²）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1≥0，
即r²≤$\frac{2}{{m}^{2}+1}$有解，即r²≤2，即r≤$\sqrt{2}$
综合知：1＜r≤$\sqrt{2}$
故选：C

点评 本题主要考查了直线与圆的联立方程组，向量加法基础以及转化思想的应用，属中等题．