Question

16．（Ⅰ）已知直线l经过点P（-3，2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍，求l的方程；
（Ⅱ）已知圆C经过点A（2，-2）和点B（1，1），且圆心在直线x-y+1=0上，求圆C的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，设出方程，即可求l的方程；
（Ⅱ）方法一：线段AB的中垂线方程为x-3y-3=0，与直线x-y+1=0联立，求出圆心坐标与半径，即可求圆C的标准方程．
方法二：设圆心C（a，a+1），由|CA|=|CB|，建立方程，求出圆心与半径，即可求圆C的标准方程．

解答 解：（Ⅰ）①当直线不过原点时，设所求直线方程为$\frac{x}{2a}$+$\frac{y}{a}$=1，
将（-3，2）代入所设方程，解得a=$\frac{1}{2}$，此时，直线方程为x+2y-1=0．
②当直线过原点时，斜率k=-$\frac{2}{3}$，直线方程为y=-$\frac{2}{3}$x，即2x+3y=0，
综上可知，所求直线方程为x+2y-1=0或2x+3y=0．…（6分）
（Ⅱ）方法一：线段AB的中垂线方程为x-3y-3=0
联立$\left\{\begin{array}{l}x-3y-3=0\\ x-y+1=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-2\end{array}\right.$，
故圆心C（-3，-2），r²=（-3-1）²+（-2-1）²=25，
故所求圆的标准方程为（x+3）²+（y+2）²=25…（12分）
方法二：设圆心C（a，a+1）
由|CA|=|CB|得（a-2）²+（a+1+2）²=（a-1）²+（a+1-1）²
即4a=-12，得a=-3
故c（-3，-2），圆C的方程：（x+3）²+（y+2）²=25…（12分）

点评 本题考查直线与圆的方程，考查待定系数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．