Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x（x∈R）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，当x＞1时，求证：f（x）＞x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为即$a≤\frac{{{x^2}+1}}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，根据基本不等式的性质求出a的范围即可；
（Ⅱ）将a=1代入f（x），构造函数g（x）=f（x）-x+1，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而证出结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知f'（x）=x²-ax+1≥0，
即$a≤\frac{{{x^2}+1}}{x}$对x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0时，$\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}≥2$（当且仅当x=1取等号）
∴a≤2…（5分）
（Ⅱ）a=1时，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
设$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+1$，
则g'（x）=x²-x=x（x-1）
当x≥1时，g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）单调递减，
∴当x＞1时，$g（x）＞g（1）=\frac{5}{6}＞0$，
即f（x）＞x-1．       …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．