Question

如图，在三棱锥P—ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点。已知PA⊥AC， PA=6，BC=8,DF=5.

求证：（1）直线PA∥平面DFE；

（2）平面BDE⊥平面ABC。

Answer 1

【解析】(1)因为D，E分别为PC,AC的中点，所以DE∥PA.

又因为PA平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.

(2)因为D，E，F分别人棱PC,AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4．

又因为DF＝5，故DF²＝DE²+EF²，所以∠DEF=90^。，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.

因为AC∩EF=E，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE⊥平面ABC。

又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC。