Question

设函数f(x)＝x2＋2x＋kln x，其中k≠0.

(1)当k>0时，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)讨论f(x)的极值点．

 

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上单调递增

（2）x0是f(x)唯一的极小值点 见解析

【解析】f′(x)＝x＋2＋.

(1)当k>0时，f′(x)＝x＋2＋>0在(0，＋∞)恒成立，

所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

令f′(x)＝＝0，

得(x＋1)2＝1－k>(0＋1)2＝1，

所以当k>0时，f′(x)＝0在(0，＋∞)没有根，f(x)没有极值点；

当k<0时，f′(x)＝0在(0，＋∞)有唯一根x0＝－1，

因为在(0，x0)上f′(x)<0，在(x0，＋∞)上f′(x)>0，

所以x0是f(x)唯一的极小值点．