Question

8．如图：四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，M是BC上的点，且BM=$\frac{1}{2}$，
（1）证明：BC⊥平面POM；
（2）若边PC与底面ABCD所成角的正切值为1，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接OB，OM，推导出OM⊥BC，PO⊥BC，由此能证明BC⊥平面POM．
（2）以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．

解答 证明：（1）连接OB，OM，由AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，BM=$\frac{1}{2}$，
得OB=1，OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由勾股定理知，OM⊥BC，
由题意知，PO⊥BC，
∵PO∩OM=O，∴BC⊥平面POM．（6分）
解：（2）以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴，建立直角坐标系，
则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），
由PC与底面ABCD所成角的正切值为1，
得P（0，0，$\sqrt{3}$），设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面PAD的法向量，
$\overrightarrow{PA}$=（$\sqrt{3}，0，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=\sqrt{3}x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1，则$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
同理得：平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，$\sqrt{3}$，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{3}{5}$，
由法向量与两平面的位置关系可得，
平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为$\frac{3}{5}$．  （12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．