Question

16．给定两个命题：p：对任意实数x都有mx²+mx+1＞0恒成立；q：方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{m-2}$=1表示焦点在x轴上的双曲线，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由p为真可得：m=0或$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△＜0\end{array}\right.$，；由q为真，则$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{m-2＜0}\end{array}\right.$．p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得p，q一真一假，即可得出．

解答 解：由p为真可得：m=0或$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△＜0\end{array}\right.$，即0≤m＜4；由q为真，则$\left\{\begin{array}{l}{m-1＞0}\\{m-2＜0}\end{array}\right.$，解得1＜m＜2．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p，q一真一假，若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{0≤m＜4}\\{m≥2或m≤1}\end{array}\right.$，解得0≤m≤1，或2≤m＜4．
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}m＜0或m≥4\\ 1＜m＜2\end{array}\right.$，即m∈ϕ
综上，m的取值范围是[0，1]∪[2，4）．

点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．