设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$的右焦点为F.过点F作x轴的垂线与双曲线交于B.C两点.过点B作斜率为负数的渐近线的垂线.过点C作斜率为正数的渐近线的垂线.两垂线交于点D.若D到直线BC的距离等于虚轴长.则双曲线的离心率e等于( )A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点（点B在x轴上方），过点B作斜率为负数的渐近线的垂线，过点C作斜率为正数的渐近线的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离等于虚轴长，则双曲线的离心率e等于（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

2

D．

$\sqrt{5}$

分析求出直线BD的方程，可得D的坐标，利用D到直线BC的距离对于虚轴长的2倍，可得方程，即可求出双曲线的离心率e的值．

解答解：由题意，B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），直线BD的方程为y-$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{a}{b}$（x-c），
令y=0，可得x=c-$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}}$，根据对称性，可得D（c-$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}}$，0），
∵D到直线BC的距离等于虚轴长的2倍，
∴$\frac{{b}^{3}}{{a}^{2}}$=4b，∴c²-a²=4a²，
∴e=$\sqrt{5}$，
故选D．

点评本题考查双曲线的离心率e的值，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

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