Question

已知f(x)=

3

2

-

3

sin2ωx-sinωx•cosωx (ω＞0)，且f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在[π， 

3

2

π]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式与辅助角公式，化简得f(x)=-sin(2x-

π

3

)，再利用三角函数的周期公式即可算出ω的值；
（2）由x∈[π， 

3

2

π]得到

5π

3

≤2x-

π

3

≤

8π

3

，再根据正弦函数的图象与性质，即可算出f（x）在[π， 

3

2

π]上的值域．

解答：解：（1）∵sin²ωx=

1

2

（1-cos2ωx），sinωxcosωx=

1

2

sin2ωx，
∴f(x)=

3

2

-

3

2

(1-cos2ωx)-

1

2

sin2ωx
=

3

2

cos2ωx-

1

2

sin2ωx=-sin(2ωx-

π

3

)
又∵f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，
∴函数的最小正周期T=

2π

2ω

=π，解之得ω=1；
（2）由（1）得f(x)=-sin(2x-

π

3

)，
∵π≤x≤

3π

2

，可得

5π

3

≤2x-

π

3

≤ 

8π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

3

)≤1，
因此-1≤-sin(2x-

π

3

)≤

3

2

，
可得f（x）在[π， 

3

2

π]上的值域为[-1， 

3

2

]．

点评：本题将三角函数式化简，求它在闭区间上的值域．着重考查了三角恒等变换、正弦函数的图象与性质和函数的值域求法等知识，属于中档题．