Question

16．已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，且在△ABC中，∠BAC=120°，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$．

Answer 1

分析 求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．

解答 解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴2r=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴r=2，
∵PA⊥面ABC，PA=2，
∴该三棱锥的外接球的半径为$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴该三棱锥的外接球的体积$\frac{4}{3}π•（\sqrt{5}）^{3}$=$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$．
故答案为：$\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．