Question

8．已知函数f（x）=cos（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）若f（α）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，求sin2α的值；
（II）设g（x）=f（x）•f（x+$\frac{π}{2}$），求函数g（x）在R的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角差的余弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知即可得解sin2α的值．
（II）利用诱导公式，特殊角的三角函数值，二倍角的余弦函数公式，两角和的余弦函数公式化简可求g（x）=$\frac{1}{2}$cos2x，利用余弦函数的有界性即可得解．

解答 解：（Ⅰ）因为f（α）=cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
所以$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
所以 cosα+sinα=$\frac{7}{5}$．
平方得，cos²α+2sinαcosα+sin²α=$\frac{49}{25}$，
所以  sin2α=$\frac{24}{25}$．…（6分）
（II）因为g（x）=f（x）•f（x+$\frac{π}{2}$）=cos（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx+sinx）$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）
=$\frac{1}{2}$cos2x．…（10分）
所以g（x）的最大值为$\frac{1}{2}$；g（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，余弦函数的有界性在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．