Question

14．曲线的ρ=sinθ-3cosθ-1直角坐标方程为x⁴+y⁴+2x²y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$-8x²+6xy=0．

Answer 1

分析 由ρ=sinθ-3cosθ-1可得：ρ²=ρsinθ-3ρcosθ-ρ，即ρ²+ρ=ρsinθ-3ρcosθ，两边平方可得：ρ⁴+ρ²+2ρ³=（y-3x）²，代入化简即可得出．

解答 解：由ρ=sinθ-3cosθ-1可得：ρ²=ρsinθ-3ρcosθ-ρ，
即ρ²+ρ=ρsinθ-3ρcosθ，两边平方可得：ρ⁴+ρ²+2ρ³=（y-3x）²，
可得直角坐标方程：（x²+y²）²+x²+y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$=y²+9x²-6xy．
化为：x⁴+y⁴+2x²y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$=8x²-6xy．
故答案为：x⁴+y⁴+2x²y²+2$（{x}^{2}+{y}^{2}）^{\frac{3}{2}}$-8x²+6xy=0．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．