Question

9．（文科学生做）设命题p：函数f（x）=x³+ax²+ax是R上的单调递增函数，命题q：|a-1|≤m（m＞0）．
（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据判别式即可求出a的范围，问题得以解决，
（2）解绝对值不等式根据q是p的充分不必要条件，得到$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥0}\\{1+m≤3}\\{m＞0}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x³+ax²+ax是R上的单调递增函数，
∴f′（x）=3x²+2ax+a≥0，
∴△=4a²-12a≤0，
解得0≤a≤3，
∴当a=1时，命题p为真命题，
（2）由|a-1|≤m，（m＞0），
解得1-m≤a≤1+m，
∵q是p的充分不必要条件，
∴q⇒p，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≥0}\\{1+m≤3}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜m≤1．
又当m=1时，p≠q，
∴实数m的取值范围为（0，1]

点评 本题考查了函数的单调性和的参数的取值范围，以及充分不必要条件和绝对值不等式的解法，属于基础题．