Question

13．已知3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$=0，且|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，则$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=（　　）

• A． 0
• B． -$\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知条件推导出向量3$\overrightarrow{a}$，4$\overrightarrow{b}$，5$\overrightarrow{c}$构成一个封闭的三角形ABC，由勾股定理可得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，展开$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），利用数量积公式求得答案．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|=1，
设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$分别是向量3$\overrightarrow{a}$，4$\overrightarrow{b}$，5$\overrightarrow{c}$的单位向量，
由3$\overrightarrow{a}$+4$\overrightarrow{b}$+5$\overrightarrow{c}$=0，
∴向量3$\overrightarrow{a}$，4$\overrightarrow{b}$，5$\overrightarrow{c}$构成一个封闭的三角形ABC，
向量$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BA}$=5$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AC}$=4$\overrightarrow{b}$，
根据勾股定理，△ABC是直角三角形，
且∠ACB=90°，cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞=-$\frac{3}{5}$，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|•cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$＞
=1×1×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{3}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，合理地构造三角形，用勾股定理解题是关键，属中档题．