下列说法:①扇形的周长为8cm.面积为4cm2.则扇形的圆心角弧度数为2rad,②函数y=cos($\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{2}$)是奇函数③若α是第三象限角.则y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$的值为0或-2,④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．下列说法：
①扇形的周长为8cm，面积为4cm²，则扇形的圆心角弧度数为2rad；
②函数y=cos（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{2}$）是奇函数
③若α是第三象限角，则y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$的值为0或-2；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
⑤y=2sin$\frac{3}{2}$x在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-2，最大值是$\sqrt{2}$；
⑥若α、β是第一象限角且α＜β，则tanα＜tanβ；
其中正确的是①②．（写出所有正确答案）

分析 ①根据扇形的面积公式和周长公式进行判断，
②根据三角函数的诱导公式以及函数奇偶性的性质进行判断，
③首先，根据α是第三象限角，确定$\frac{α}{2}$的取值情况，然后，再结合三角函数在各个象限的符号进行求解即可．
④根据正弦函数的关系进行判断．
⑤利用三角函数的单调性和最值之间的关系进行判断．
⑥利用特殊值法结合正切函数的单调性关系进行判断．

解答解：①解：设扇形的弧长为：l半径为r，所以2r+l=8，$\frac{1}{2}$lr=4，
所以l=4，r=2，
所以扇形的圆心角的弧度数是：$\frac{4}{2}$=2；
则扇形的圆心角弧度数为2rad；故①正确，
②函数y=cos（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=-sin$\frac{3}{2}$x是奇函数，故②正确，
③∵α是第三象限角，∴π+2kπ＜α＜$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴$\frac{π}{2}$+kπ＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$+kπ，
当k为偶数时，k=2n，n∈Z，$\frac{π}{2}$+2nπ＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$+2nπ，此时为第二象限角；
∴sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，∴y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$=0，
当k为奇数时，k=2n+1，n∈z，$\frac{3π}{2}$+2nπ＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{7π}{4}$+2nπ，此时为第四象限角．
∴sin$\frac{α}{2}$＜0，cos$\frac{α}{2}$＞0，∴y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$=0，
综上，若α是第三象限角，则y=$\frac{|sin\frac{α}{2}|}{sin\frac{α}{2}}$+$\frac{|cos\frac{α}{2}|}{cos\frac{α}{2}}$的值为0，故③错误；
④若sinα=sinβ，则α=β+2kπ或α=π-β+2kπ，k∈Z，则α与β的终边相同不正确，故④错误；
⑤若-$\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{2}$，则-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3}{2}$x≤$\frac{3π}{4}$，
则当$\frac{3}{2}$x=-$\frac{π}{2}$时，函数取得最小值，此时最小值为-2，
当$\frac{3}{2}$x=$\frac{π}{2}$，函数取得最大值，此时最大值为2，
故y=2sin$\frac{3}{2}$x在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上的最小值是-2，最大值是$\sqrt{2}$错误，故⑤错误；
⑥当α=$\frac{π}{4}$，β=2π+$\frac{π}{4}$，满足α、β是第一象限角且α＜β，则tanα=tanβ；即tanα＜tanβ不成立，故⑥错误，
故答案为：①②