Question

3．某次知识竞赛中，从6道备选题中一次性随机抽取3道，并独立完成所抽取的3道题．某选手能正确完成其中4道题，规定至少正确答对其中2道题目便可过关．
（1）求该选手能过关的概率；
（2）记所抽取的3道题中，该选手答对的题目数为X，写出X的概率分布列，并求E（X）．

Answer 1

分析 （1）记甲选手能过关为事件A，先求出基本事件总数，再求出事件A包含的基本事件数，由此能求出该选手能过关的概率．
（2）X的所有可能取值为1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）记甲选手能过关为事件A，
则基本事件总数n=C${\;}_{6}^{3}$=20，
事件A包含的基本事件数m=C${\;}_{4}^{3}$+C${\;}_{4}^{2}$C${\;}_{2}^{1}$=16，
所以该选手能过关的概率P（A）=$\frac{m}{n}$=$\frac{4}{5}$．
（2）X的所有可能取值为1，2，3．
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$．
则X的分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

所以E（X）=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．