Question

17．已知函数f（x）=log_a（x+1），函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=a对称
（1）求函数g（x）的解析式，并指出其定义域；
（2）设函数h（x）=g（x）-f（-x），若对任意的x∈[0，1），总有h（x）≥3成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象的对称变换原则，可得g（x）=f（2a-x），进而可得函数的解析式及定义域；
（2）函数h（x）=g（x）-f（-x）=log_a$\frac{x-2a-1}{x-1}$，结合对数函数的图象和性质，分类讨论可得满足条件的a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=a对称，
∴g（x）=f（2a-x）=log_a（2a-x+1），x∈（-∞，2a+1）；
（2）∵函数h（x）=g（x）-f（-x）=log_a$\frac{x-2a-1}{x-1}$
若a＞1，则对任意的x∈[0，1），总有h（x）≥3成立可化为：
$\frac{x-2a-1}{x-1}$≥a³，即（a³-1）x-a³+2a+1≥0，
记m（x）=（a³-1）x-a³+2a+1，
则函数为增函数，
故m（0）=-a³+2a+1≥0，
解得：1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
若0＜a＜1，则对任意的x∈[0，1），总有h（x）≥3成立可化为：
$\frac{x-2a-1}{x-1}$≤a³，即（a³-1）x-a³+2a+1≤0，
记m（x）=（a³-1）x-a³+2a+1，
则函数为减函数，
故m（0）=-a³+2a+1≤0，
不存在满足条件的a值．
综上可得：1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查的知识点是函数的图象，对数函数的图象和性质，分类讨论思想，难度中档．