Question

16．已知函数f（x）=-x²+2ax+3a²
（1）当a=-1时，求不等式f（x）＜-5的解集；
（2）若f（sinx）＞0对任意实数x都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求a=-1时一元二次不等式f（x）＜-5的解集即可；
（2）根据题意，结合二次函数的图象与性质，不等式恒成立化为f（t）_min＞0，t∈[-1，1]，得到关于a的不等式组，求出解集即可．

解答 解：（1）函数f（x）=-x²+2ax+3a²，
当a=-1时，不等式f（x）＜-5化为-x²-2x+3＜-5，
即x²+2x-8＞0；
由x²+2x-8=0的两根为x=-4和x=2，
且对应二次函数开口向上，
所以解不等式得x＜-4或x＞2，
所以不等式f（x）＜-5的解集是{x|x＜-4或x＞2}；
（2）若f（sinx）＞0对任意实数x∈R都成立，
令t=sinx，则t∈[-1，1]，
问题转化为f（t）＞0对任意实数t∈[-1，1]都成立
即f（t）_min＞0，t∈[-1，1]；
由二次函数的性质知，关于t的二次函数f（x）=-t²+2at+3a²
在[-1，1]上的最小值为f（t）_min=min{f（-1），f（1）}，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-1-2a+{3a}^{2}＞0①}\\{f（1）=-1+2a+{3a}^{2}＞0②}\end{array}\right.$，
解①得a＜-$\frac{1}{3}$，或a＞1；
解②得a＜-1，或a＞$\frac{1}{3}$；
所以实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次不等式的解法，函数的最值等知识，也考查了推理论证与运算求解能力，其中（1）是容易题，（2）是中档题．