Question

17．函数$f（x）=\frac{{\sqrt{2x-1}}}{x}$的定义域为[$\frac{1}{2}$，+∞），值域为[0，1]．

Answer 1

分析 要使得f（x）有意义，则有$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$，这样即可得出f（x）的定义域；可令$\sqrt{2x-1}=t$，从而得到$x=\frac{{t}^{2}+1}{2}$，t≥0，从而有$y=\frac{2t}{{t}^{2}+1}$，可讨论t：t=0时，y=0，而t＞0时，有$y=\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$，这样根据基本不等式便可求出y的范围，从而得出函数f（x）的值域．

解答 解：解$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{x≠0}\end{array}\right.$得，$x≥\frac{1}{2}$；
∴f（x）的定义域为$[\frac{1}{2}，+∞）$；
令$\sqrt{2x-1}=t$，t≥0，∴$x=\frac{{t}^{2}+1}{2}$，设y=f（x），则：
$y=\frac{2t}{{t}^{2}+1}$；
①若t=0，y=0；
②若t＞0，则$y=\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$；
$t+\frac{1}{t}≥2$，t=1时取“=”；
∴0＜y≤1；
∴0≤y≤1；
∴f（x）的值域为[0，1]．
故答案为：$[\frac{1}{2}，+∞），[0，1]$．

点评 考查函数定义域、值域的概念及求法，换元法求函数的值域，以及基本不等式的运用．