Question

（本小题满分14分）已知函数.

（1）若曲线在处的切线为，求的值；

（2）设，，证明：当时，的图象始终在的图象的下方；

（3）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，，，存在唯一的，使直线的斜率等于．

Answer 1

（1）；（2）见解析；（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（1）利用已知条件写出切线方程为，再与对比系数即可；（2）只需证明当时即可；（Ⅲ）由题意证明即

设只需证明在上满足即可，，将看作自变量求导易得是的增函数，所以，同理，故

试题解析：（1），此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，，. 3分

（2）则

在单调递减，且

当时，即，

当时，的图像始终在的图象的下方. 7分

（3） 由题，.

∵，∴，∴，

即， 9分

设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，

只需证明在上满足.下面证明之：

，，

为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数，

讨论他们的最值：

，将看作自变量求导得，

是的增函数，

∵，∴； ..11分

同理：

，将看作自变量求导得，是的增函数，

∵，∴；

∴，

∴函数在内有零点， ..13分

又，函数在是增函数，

∴函数在内有唯一零点，从而命题成立. 14分

考点：导数及其综合应用