Question

设函数f（x）=a^x满足条件：当x∈（-∞，0）时，f（x）＞1，当x∈（0，1）时，不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由函数f（x）=a^x满足条件：当x∈（-∞，0）时，f（x）＞1可知f（x）=a^x在（0，1）上为减函数，然后把不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立转化为

3mx-1＜1+mx-x2① 1+mx-x2＜m+2②

恒成立，分别由两个不等式恒成立求出m的取值范围后取交集得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=a^x满足条件：当x∈（-∞，0）时，f（x）＞1，
∴函数f（x）=a^x在（0，1）上为减函数，
当x∈（0，1）时，不等式f（3mx-1）＞f（1+mx-x²）＞f（m+2）恒成立，
即

3mx-1＜1+mx-x2① 1+mx-x2＜m+2②

恒成立，
由①得：2mx+m²-2＜0对于x∈（0，1）恒成立，
即

m2-2＜0 2m+m2-2＜0

，解得：-

2

＜m＜

3

-1；
由②得：x²-mx+m+1＞0对于x∈（0，1）恒成立，
即（-m）²-4m-4＜0③，或

m 2 ≤0 m+1≥0

④，或

m 2 ≥1 1-m+m+1≥0

⑤，
解③得：2-2

2

＜m＜2+2

2

．
解④得：-1≤m≤0．
解⑤得：m≥2．
取并集得：m≥-1．
∴m的取值范围是（-

2

，

3

-1）．

点评：本题考查了指数函数的性质，考查了恒成立问题，训练了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．