Question

12．某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr²分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．问题：
（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

Answer 1

分析 先确定利润函数，再利用求导的方法，即可得到结论．

解答 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是$y=f（r）=0.2×\frac{4}{3}π{r^3}-0.8π{r^2}=0.8π（{\frac{r^3}{3}-{r^2}}），0＜r≤6$
令f'（r）=0.8π（r²-2r）=0解得  r=2（r=0舍去）
当r∈（0，2）时，f'（r）＜0；当r∈（2，6）时，f'（r）＞0．
当半径r＞2时，f'（r）＞0它表示f（r）单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径r＜2时，f'（r）＜0它表示f（r）单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为2cm 时，利润最小，这时f（2）＜0，
表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为6cm时，利润最大．

点评 本题考查函数模型的建立，考查导数知识的运用，确定函数的模型是解题的关键．同时考查了分析问题的能力，属于中档题．