Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，PA=2AB=2。

(1)求证：CE∥平面PAB;

(2)求四面体PACE的体积.

 

Answer 1

(1)详见解析；(2)

【解析】

试题分析：(1)要证CE∥平面PAB，可以转换为证明，而要证明又可转化为与（另外也可以转化为线线平行） ；(2)要求四面体PACE的体积，可转换顶点求以E为顶点PAC为底面的三棱锥的体积.

试题解析：(1)法一：取AD得中点M，连接EM,CM.

则EM//PA 1分

因为

所以， 2分

在中，

所以，

而,所以,MC//AB. 3分

因为

所以， 4分

又因为

所以，

因为 6分

法二： 延长DC,AB,交于N点，连接PN. 1分

因为

所以，C为ND的中点. 3分

因为E为PD的中点，所以，EC//PN

因为

6分

（2）法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 7分

因为，，所以， 8分

又因为

所以， 10分

因为E是PD的中点

所以点E平面PAC的距离 ，

所以，四面体PACE的体积 12分

法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=

因为，

所以， 10分

因为E是PD的中点

所以，四面体PACE的体积 12分

考点：(1)空间位置关系的证明；（2）三棱锥求体积.