Question

11．若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数；
③已知函数f（x）=x³-3x²+6x-2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是①②③．．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 在①中，f（0+x）+f（0-x）=2，得a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义；在②中，根据函数“准奇函数”的定义，利用函数奇偶性的定义即可证明函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数；在③中，f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，得点（1，2）为函数f（x）的“中心点”．

解答 解：在①中，∵函数f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0-x）=2，
∴a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义，故①正确；
在②中，若F（x）=f（x+a）-f（a），
则F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a），
∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），
∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），
即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数，∴故②正确．
在③中，函数f（x）=x³-3x²+6x-2，
∴f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，
∴点（1，2）为函数f（x）的“中心点”，故③正确．
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查函数中心的定义的应用，综合性较强，运算量量较大，难度较大．