Question

17．已知直线l：2x+y-1=0与圆C：x²+y²=1相交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积（O为坐标原点）；
（2）设直线ax+by=1与圆C：x²+y²=1相交于M，N两点（其中a，b是实数），若OM⊥ON，试求点P（a，b）与点Q（0，1）距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l：2x+y-1=0与圆C：x²+y²=1联立求出x，可得|AB|，求出圆心到直线的距离，即可求出三角形的面积；
（2）根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．

解答 解：（1）直线l：2x+y-1=0与圆C：x²+y²=1联立可得5x²-4x=0，∴x=0或x=$\frac{4}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•\frac{4}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴△AOB的面积S=$\frac{2}{5}$..------------（6分）
（2）由OM⊥ON可知△MON是等腰直角三角形，且圆C的半径为1，所以圆心O到直线ax+by=1的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，化简得a²+b²=2..------------（11分）
所以点P在以$\sqrt{2}$为半径，原点为圆心的圆上运动，故${|{PQ}|_{max}}=\sqrt{2}+1$．．------------（15分）

点评 本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．