题目内容
10．已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x+y+3=0垂直，若数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为Sn，则S2011的值为（ ）| A． | $\frac{2012}{2011}$ | B． | $\frac{2010}{2011}$ | C． | $\frac{2013}{2012}$ | D． | $\frac{2011}{2012}$ |
分析 由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值，根据f（n）的解析式，用裂项法求得数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为Sn的值，可得S2011的值．
解答 解：由题意可得A（0，0），函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，0）处的切线l的斜率为0+2b=2b，
再根据l与直线x+y+3=0垂直，可得2b•（-1）=1，∴b=-$\frac{1}{2}$．
∵f（n）=n2+2bn=n2-n=n（n-1），∴$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
故数列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n项和为Sn =0+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n}$，
∴S2011=1-$\frac{1}{2011}$=$\frac{2010}{2011}$，
故选：B．
点评 本题主要考查函数在某一点的导数的几何意义，用裂项法进行数列求和，属于中档题．
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