Question

如图，四面体A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°．点E在BD上，且DE=

1

3

DB=2．
（Ⅰ）求证：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求三棱锥A-CDE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）将三角形BCD中的条件摆出来，不难发现三角分别为120°，30°，30°，最大边长为6，利用余弦定理不难求出CE，BC，BE已知，再利用勾股定理求证EC⊥BC，再根据面面垂直的性质定理可得结论；
（2）可先求出三角形CDE的面积，而A到面CDE的距离就是点A到BC的距离，由已知条件不难求出．

解答： 解：（Ⅰ）证明：△DCB中，CB=CD，∠DCB=120°
∴∠CDB=30°，可求得CD=2

3

，
在△CDE中，由余弦定理得EC=DE=2，
故∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，交线为BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）取BC中点H，连接HA，HE，由AB=AC得
AH⊥BC，于是AH⊥平面BCD，
∴AH⊥HE，AC=EC=2，HC=

3

，∴AH=1，
S_△CDE=

1

2

CD•CE•sin30°=

3

，
V_A-CDE=

1

3

×1×

3

=

3

3

，
∴三棱锥A-CDE的体积是

3

3

．

点评：空间位置关系的证明主要是利用转化思想，实现平行间关系的转化、垂直间关系的转化，或平行与垂直间关系的转化；而三棱锥体积的计算问题主要是求高，一般是借助于题目中给的垂直关系，将所求的高置于一个三角形（尤其是直角三角形）中解决．