Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=1，则直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

解答 解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A₁（1，0，1），B（0，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-1，1，-1），平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{3}•1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．